Binomické rozdělení

Předpokládejme, že náhodný pokus (uvedený ve výkladu o alternativním rozdělení) budeme opakovat n-krát a že pravděpodobnost nastoupení jevu A není závislá na výsledcích předchozích pokusů (pokusy jsou nezávislé - typickým příkladem nezávislých náhodných pokusů jsou tzv. výběry s vracením (s opakováním), kdy každý prvek vybraný z nějakého souboru vracíme zpět). Potom náhodné veličiny Xi, i=1,2,...,n, (počet nastoupení jevu A v i-tém pokusu) jsou nezávislé náhodné veličiny s alternativním rozdělením. Veličina X = SXi (počet nastoupení jevu A při n nezávislých pokusech) má potom rozdělení, které lze popsat pravděpodobnostní funkcí

Pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení

P(x) = px (1 - p)n-x     pro x = 0,1,...,n

Veličina X, jejíž zákon rozdělení je popsán výše uvedenou pravděpodobnostní funkcí má tzv. binomické rozdělení s parametry n a p. Tuto skutečnost zapisujeme X ~ Bi(n,p). Hodnoty pravděpodobnostní funkce pro n < 30 a p< 0,5 bývají tabelovány ve statistických tabulkách.

Graficky si můžete pravděpodobnostní funkci pro různé hodnoty n a p nechat znázornit na adrese http://www-stat.stanford.edu/~naras/jsm/example5.html.

 

Vlastnosti binomického rozdělení

Střední hodnota binomického rozdělení má tvar:

Střední hodnota náhodné veličiny s binomickým rozdělení - X ~ Bi(n,p)

E(X) = n.p

Střední hodnota je tedy funkcí opakování pokusu n a pravděpodobnosti p. Podívejme se na praktický výpočet střední hodnoty.

Mějme např. náhodnou veličinu X s binomickým rozdělením s parametry n = 3 a p=0,3 - tedy X ~ Bi(3;0,3). Pravděpodobnosti pro jednotlivé možné hodnoty x jsou uvedeny v následující tabulce:

x

P(x)

0

(0,3)0 (0,7)3 = 0,343

1 

 (0,3)1 (0,7)2 = 0,441

2 

(0,3)2 (0,7)1 = 0,189 

 3 

(0,3)3 (0,7)0 = 0,027

 Střední hodnota potom je

E(X) = 0 . 0,343 + 1 . 0,441 + 2 . 0,189 + 3 . 0,027 = 0,900

což je samozřejmě stejná hodnota jako

n.p = 3 . 0,3 = 0,900.

 rozptyl náhodné veličiny X má tvar

Rozptyl náhodné veličiny s binomickým rozdělením - X ~ Bi(n,p)

D(X) = np(1 - p).

a směrodatná odchylka je odmocninou z rozptylu:

Směrodatná odchylka náhodné veličiny s binomickým rozdělením - X ~ Bi(n,p)

Dá se jednoduše dokázat, že rozptyl dosahuje maximální hodnoty při volbě parametrů p = 1/2. 

Spočítejme nyní hodnotu rozptylu již dříve uvažované náhodné veličiny X ~ Bi(3;0,3).

E(X2) = S x2 P(x) = 0 . 0,343 + 1 . 0,441 + 2 . 0,189 + 3 . 0,027 = 1,44

Tedy

D(X) = E(X2) - µ2 = 1,44 - 0,902 = 0,63

Obdržíme stejný výsledek jako při

D(X) = np (1 - p) = 3 . 0,3 . 0,7 = 0,63

Zajímavá vlastnost platí pro součet náhodných veličin s binomickým rozdělením: Pro nezávislé náhodné veličiny s binomickým rozdělením se stejným parametrem p platí, že jejich součet má opět binomické rozdělení s týmž parametrem p, jak vyplývá z následujícího tvrzení.

Součet náhodných veličin s binomickým rozdělením

Předpokládejme, že X1,X2,...,Xn jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny, přičemž veličina Xj má rozdělení Bi(nj,p), j = 1,...,k ł 2. Pak náhodná veličina X = SXj má rozdělení Bi(Snj,p).

Binomické rozdělení je symetrické pro hodnotu p = 0,5 a asymetrické pro jiné hodnoty p.

Výpočty

Výpočty hodnot pravděpodobnostní funkce a výše uvedených charakteristik si můžete vyzkoušet zadáním vlastních hodnot (p zadávejte s desetinnou tečkou):

 

n p