Metoda klouzavých průměrů

 

Metoda klouzavých průměrů je druhou z adaptivních metod přístupu k modelování trendové složky. Je založena na předpokladu, že časovou řadu můžeme vyrovnat v krátkých úsecích jednou matematickou křivkou ovšem s různými parametry. Metoda klouzavých průměrů je založena na lineární kombinaci hodnot původní časové řady. V podstatě se jedná o vyrovnání řady polynomem určitého řádu. Klouzavé průměry rozeznáváme

 

 

 

Jednoduché klouzavé průměry

 

Jednoduché klouzavé průměry jsou vlastně obyčejné aritmetické průměry z původních hodnot časové řady. Předpokládejme, že chceme vyrovnat hodnotu časové řady v bodě t. Potom

tedy hodnotu v bodě t vyrovnáváme aritmetickým průměrem z okolních čtyř hodnot a z hodnoty v čase t.

Potom se v časové řadě posuneme o jednu hodnotu doprava a vyrovnáváme hodnotu v čase t+1 jako

tedy hodnotu v bodě t+1 vyrovnáváme opět jako průměr z okolních čtyř hodnot a z hodnoty v čase t+1. Tímto způsobem kloužeme po časové řadě zleva doprava - odtud název metody. V uvedeném příkladu jsme použili klouzavý průměr délky pět, ale stejně jsme mohli aplikovat klouzavý průměr délky, 3,7,9 či jiný.

 

 

 

Délka klouzavých průměrů

 

Délkou klouzavých průměrů budeme rozumět počet členů, ze kterých průměr počítáme. Obecně se délka klouzavých průměrů označuje 2m+1, kde m=1,2,3,…, čímž máme zaručenou lichou délku těchto průměrů. Proč se používají klouzavé průměry pouze liché délky je nasnadě - při použití sudé délky bychom vyrovnávali hodnoty časové řady mezi pozorováními, tedy v časových bodech neceločíselné délky, kde nemáme navíc žádné pozorování.

Obecně platí, že čím je větší délka klouzavých průměrů, tím větší je vyrovnání (někdy hovoříme o vyhlazení), neboť se eliminuje vliv pozorování více vzdálených od ostatních hodnot případně vliv odlehlých pozorování.

Aplikace klouzavých průměrů s sebou nese jednu nepříjemnou vlastnost. Nová křivka klouzavých průměrů je kratší než původní řada. je-li délka klouzavých průměrů 2m+1, ztrácíme totiž vyrovnáním m hodnot na začátku, které zůstanou nevyrovnané, a rovněž m nevyrovnaných hodnot na konci časové řady.

 

 

Vážené klouzavé průměry

 

Příkladem vážených klouzavých průměrů může být výraz

Opět tedy vyrovnáváme hodnotu časové řady v bodě t průměrem, tentokráte ovšem průměrem váženým. Otázkou je jak zvolit váhy. Ty se dají odvodit na základě metody nejmenších čtverců, proložíme-li krátké úseky časové řady polynomem řádu r. Pro váhy dále musí platit:

 

Proložíme-li krátké úseky časové řady (např. 5 hodnot řady) polynomem třetího řádu, určíme koeficienty tohoto vyrovnávacího polynomu metodou nejmenších čtverců tak, že minimalizujeme výraz

Postupujeme klasicky - spočítáme parciální derivace podle jednotlivých parametrů, ty položíme rovny nule, čímž obdržíme soustavu čtyř normálních rovnic a po následných výpočtech a úpravách se dopracujeme k odhadu jednotlivých koeficientů. Ty nakonec vedou na hodnoty, které pak používáme jako příslušné váhy ve vážených klouzavých průměrech. v našem konkrétním případě (délka klouzavých průměrů 5, polynom 3. řádu) obdržíme váhy, které jsou uvedeny jako příklad na začátku této kapitoly. Bývá zvykem zapisovat váhy zjednodušeným zápisem ve tvaru

neboť ze symetrie je zřejmé, jak budou další hodnoty vah vypadat.

V následující tabulce je přehled vah pro různé délky klouzavých průměrů a různé řády polynomů

 

délka\řád

2. a 3.

4. a 5.

3

(0,1,0)

(0,1,0)

5

(0,0,1,…)

7

9

11

13

 

 

 

Účinek klouzavých průměrů na jednotlivé složky časové řady

 

 

Vliv na trendovou složku

Klouzavé průměry by neměly mít účinek na trendovou složku, neboť mají za účel právě tuto složku modelovat. Bohužel však často klouzavé průměry mají na tuto složku rušivý vliv. je tedy třeba aplikovat klouzavé průměry velmi uvážlivě.

 

Vliv na sezónní složku

Obecně platí, že pokud je délka klouzavých průměrů kratší než délka sezóny, bude vyrovnaná řada opět obsahovat sezónní složku - možná se pouze změní některé parametry. Bude-li délka sezóny naopak menší než délka klouzavých průměrů, může to při určitých vhodně zvolených vahách klouzavého průměru vést k odstranění sezónní složky z vyrovnané řady. Hovoříme pak o tom, že provádíme sezónní očištění. Obecně se k tomuto očištění používají tzv. centrované klouzavé průměry.

 

Vliv na cyklickou složku

Vzhledem k velmi dlouhé periodě cyklické složky nemají klouzavé průměry na tuto složku téměř žádny vliv. Aplikujeme-li tedy vhodné klouzavé průměry na časovou řadu, odstraníme sice sezónnost, ale odhadnuté hodnoty řady pak představují trendovou a cyklickou složku ve tvaru

Tt + Ct

v případě aditivního modelu a

Tt Ct

v případě multiplikativního modelu.

 

 

Vliv na náhodnou složku

Po aplikaci klouzavých průměrů přestane mít náhodná složka charakter nekorelovaných veličin. Navíc aplikace klouzavých průměrů redukuje původní rozptyl náhodné složky na menší hodnotu.