Podmíněná pravděpodobnost

Často se setkáváme s podmíněnou pravděpodobností - jedná se o pravděpodobnost jevu, za podmínky, že nastal určitý jiný jev.

V podstatě si můžeme představit, že n-krát realizujeme nějaký náhodný pokus a uvažujeme dvě podmnožiny A a B v příslušném prostoru elementárních jevů, tj. dva jevy související s tímto pokusem. Vyberme teď z posloupností realizací pokusu jen ty realizace, při kterých nastal jev B. Pak nás ovšem může zajímat kolikrát za takové podmínky nastal jev A. Můžeme si vlastně představit, že prostor elementárních jevů sdružený s pokusem zúžíme; místo původního prostoru elementárních jevů bereme jeho část B, a při sestavování statistiky výsledků bereme v úvahu jen ty realizace, při kterých nastal některý z elementárních jevů patřících do B.

Uveďme si následující příklad. Uvažujme situaci, kdy na knižní trh byl uveden nový titul. Zajímá nás pravděpodobnost, že se tento nový titul stane bestsellerem. Pokud nemáme o této knize žádné informace, je samozřejmě velmi nesnadné odhadnout šance, že se skutečně nový titul bestsellerem stane. Dodatečnými informacemi se náš odhad pravděpodobnosti (subjektivní) může zvýšit (případně snížit). Např. jestliže zjistíme, že autor knihy v nedávné minulosti již dva bestsellery napsal, nepochybně vzroste náš odhad pravděpodobnosti, že se uvedený titul rovněž stane bestsellerem.

Vezměme jiný zjednodušený příklad: Předpokládejme, že 2% obchodních společností dlužících v současnosti na akciích (společnosti nevyplatily dividendy majitelům akcií) budou dlužny i v dalším roce. Dále předpokládejme, že existuje bankovní služba, která ohodnocuje kvalitu akcií. Pro jednoduchost předpokládejme, že dělí akcie na tři skupiny: A - vysoce kvalitní akcie, B - akcie průměrné kvality, C - akcie podprůměrné kvality. Dále označme jev "společnost bude dlužna na akciích" jako jev D. Můžeme potom psát

P(D) = 0,02

Jestliže známe kvalitu akcií, může to samozřejmě zvýšit (či snížit) šance majitelů akcií, že obchodní společnost bude solventní a vyrovná své závazky. Pokud např. firma začala prosperovat, uzavřela nové výnosné obchody a nemá již finanční problémy, dá se očekávat, že i své závazky bude vyrovnávat včas. Pak může situace vypadat např. takto:

P(D|A) = 0,005

P(D|B) = 0,018

P(D|C) = 0,045

kde pravděpodobnost jevu zapsaného před lomítkem je podmíněna výskytem jevu za lomítkem. Např. P(D/A) (čteme " pravděpodobnost jevu D podmíněného jevem A" nebo "pravděpodobnost D za podmínky A") je nyní 0,005 a tedy je nižší než pravděpodobnost samotného jevu D. Pokud tedy akcie patří do skupiny A, pravděpodobnost neplacení ze strany společnosti je 0,005; pokud patří do skupiny B, je pravděpodobnost neplacení 0,018; a pokud patří do skupiny C, je pravděpodobnost neplacení 0,045. Na závěr této části poznamenejme, že součet těchto podmíněných pravděpodobností nedává P(D), jak možná někdo očekával. Podrobněji se k této problematice vrátíme při Bayesově větě.

Důležité vztahy pro výpočet podmíněné pravděpodobnosti:

kde P(A) ą 0

kde P(B) ą 0

Po úpravě předchozích vztahů dostáváme tzv. Bayesův vzorec úplné pravděpodobnosti:

Bayesova věta