Předpokládejme, že náhodný pokus (uvedený ve výkladu o alternativním rozdělení) budeme opakovat n-krát a že pravděpodobnost nastoupení jevu A není závislá na výsledcích předchozích pokusů (pokusy jsou nezávislé - typickým příkladem nezávislých náhodných pokusů jsou tzv. výběry s vracením (s opakováním), kdy každý prvek vybraný z nějakého souboru vracíme zpět). Potom náhodné veličiny Xi, i=1,2,...,n, (počet nastoupení jevu A v i-tém pokusu) jsou nezávislé náhodné veličiny s alternativním rozdělením. Veličina X = SXi (počet nastoupení jevu A při n nezávislých pokusech) má potom rozdělení, které lze popsat pravděpodobnostní funkcí
P(x) =
px (1 - p)n-x
pro x = 0,1,...,n
Graficky si můžete pravděpodobnostní funkci pro různé hodnoty n a p nechat znázornit na adrese http://www-stat.stanford.edu/~naras/jsm/example5.html.
Střední hodnota binomického rozdělení má tvar:
E(X) = n.p
Mějme např. náhodnou veličinu X s binomickým rozdělením s parametry n = 3 a p=0,3 - tedy X ~ Bi(3;0,3). Pravděpodobnosti pro jednotlivé možné hodnoty x jsou uvedeny v následující tabulce:
x |
P(x) |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
Střední hodnota potom je
E(X) = 0 . 0,343 + 1 . 0,441 + 2 . 0,189 + 3 . 0,027 = 0,900
což je samozřejmě stejná hodnota jako
n.p = 3 . 0,3 = 0,900.
rozptyl náhodné veličiny X má tvar
D(X) = np(1 - p).
a směrodatná odchylka je odmocninou z rozptylu:
Dá se jednoduše dokázat, že rozptyl dosahuje maximální hodnoty při volbě parametrů p = 1/2.
Spočítejme nyní hodnotu rozptylu již dříve uvažované náhodné veličiny X ~ Bi(3;0,3).
E(X2) = S x2 P(x) = 0 . 0,343 + 1 . 0,441 + 2 . 0,189 + 3 . 0,027 = 1,44
Tedy
D(X) = E(X2) - µ2 = 1,44 - 0,902 = 0,63
Obdržíme stejný výsledek jako při
D(X) = np (1 - p) = 3 . 0,3 . 0,7 = 0,63
Zajímavá vlastnost platí pro součet náhodných veličin s binomickým rozdělením: Pro nezávislé náhodné veličiny s binomickým rozdělením se stejným parametrem p platí, že jejich součet má opět binomické rozdělení s týmž parametrem p, jak vyplývá z následujícího tvrzení.
Předpokládejme, že X1,X2,...,Xn jsou vzájemně
nezávislé náhodné veličiny, přičemž veličina Xj má rozdělení
Bi(nj,p), j = 1,...,k ł
2. Pak náhodná veličina X = SXj
má rozdělení Bi(Snj,p).
Binomické rozdělení je symetrické pro hodnotu p
= 0,5 a asymetrické pro jiné hodnoty p.
Výpočty hodnot pravděpodobnostní funkce a výše uvedených charakteristik si můžete vyzkoušet zadáním vlastních hodnot (p zadávejte s desetinnou tečkou):