Poissonovo rozdělení

Poissonovo rozdělení s parametrem l má nespojitá náhodná veličina X, jejíž pravděpodobnostní funkce má tvar

P(X = x ) =       pro x = 0,1,... l > 0

Tento fakt zapisujeme X ~ Po(l). Pro různá x a vybrané hodnoty l jsou výše uvedené pravděpodobnostní funkce tabelovány.

Tímto rozdělením se řídí veličina, kterou je počet výskytu nějakého jevu v určitém časovém intervalu délky t, jestliže:

a) jev může nastat v kterémkoliv časovém okamžiku a počet výskytů jevu záleží pouze na délce intervalu,

b) pravděpodobnost, že jev v intervalu délky t nastane častěji než jednou konverguje k nule rychleji než t, 

c) l je střední hodnota počtu výskytu jevu za časovou jednotku, pak uvedená veličina má rozdělení Po(t.l).

Takovou veličinou může být například: počet vadných výrobků ve velké sérii (jestliže pravděpodobnost vyrobení vadného výrobku je velmi malá), počet dopravních nehod za den v určitém městě, počet zákazníků v prodejně během dne, počet telefonních impulsů na telefonní ústřednu za 24 hodin, počet poruch stroje za směnu atd.

Praktický výpočet si nyní ukážeme.

Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 15 hovorů. Jaká je pravděpodobnost, že během 4 minut zapojí ústředna

b) alespoň dva hovory?

Sledovanou náhodnou veličinou X je počet zapojených hovorů během časového intervalu délky t = 1/15 hodiny. Tato veličina vyhovuje všem předpokladům, které musí být splněny, aby bylo možno považovat rozdělení veličiny X za Poissonovo. Protože střední počet zapojených hovorů během jedné hodiny je l = 15, má veličina X Poissonovo rozdělení s parametrem t.l = 1/15.15 = 1 (viz bod c.). Dostáváme tedy:

a) Pravděpodobnost, že veličina X nabude hodnoty x = 1 je

P(1) = = 0,367879

b) Pravděpodobnost, že veličina X nabude hodnoty alespoň 2 je

P(2) + P(3) +..... = 1 - P(0) - P(1) = 1 - (0,367879 + 0,367879) = 0,264242

neboť

P(0) = = 0,367879

a P(1) už známe.

Odtud je vidět, že pro parametr l = 1 je P(0) = P(1) = 0,367879.

Charakteristiky tohoto rozdělení mají tvar

E(X) = l

D(X) = l

Poissonovo rozdělení má některé "příjemné" vlastnosti, o kterých si něco povíme. Platí pro něj podobná vlastnost jako pro binomické rozdělení a sice, že součet náhodných veličin s Poissonovým rozdělením má opět Poissonovo rozdělení. Formulujme nyní tuto vlastnost přesněji. Platí:

Pokud X₁,X₂,...,X_n, n ł 2, jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny, přičemž veličina X_i má rozdělení Po(l_i), i = 1,2,...,n, má náhodná veličina X = SX_i má rozdělení Po(Sl_i).

Aproximace binomického rozdělení Poissonovým

Poissonovým rozdělením lze dobře aproximovat binomické rozdělení za předpokladu, že n je dostatečně velké (alespoň n > 30) a p je malé (p Ł 0,1). Potom platí tvrzení:

Uvažujme posloupnost {X_n} náhodných veličin, přičemž veličina X_n má rozdělení Bi(n,p_n), n = 1,2,.... Nechť p_n ® 0 pro n ® Ą a přitom n.p_n ® l, kde l je pevné kladné číslo. Potom

      x = 0,1,...

Jednoduše řečeno, limitním rozdělením binomického rozdělení s parametry n a p je rozdělení Poissonovo s parametrem

Že je tato aproximace rozumná, naznačuje i následující tabulka, ve které jsou pro porovnání uvedeny hodnoty pravděpodobnostních funkcí - P(X = x) - binomického rozdělení s n = 30 a p = 0,1 a rozdělení Poissonova s parametrem l = np.

Výpočty

Výpočet hodnoty pravděpodobnostní funkce pro zadané x si můžete vyzkoušet níže (l zadávejte s desetinnou tečkou):

Výpočty hodnot pravděpodobnostní funkce pro x = 0, 1, 2, ..., k si můžete vyzkoušet níže (l zadávejte s desetinnou tečkou):