Modelování trendu matematickými křivkami

Jak jsme již uvedli, trendovou složku lze často popsat matematickou funkcí v celé délce časové řady. Při tomto přístupu většinou předpokládáme, že časová řada má tvar

Y_t = T_t + ε_t

tedy že z časové řady byly již odstraněny ostatní systematické složky. Tento předpoklad se může zdát silně omezující, ale jak uvidíme v dalším textu, není tomu tak. Otázkou je, jaká matematická křivka je nejvhodnější. Při jejím výběru vycházíme nejčastěji z grafického průběhu časové řady. Mezi nejčastěji používané patří

• konstantní trend (někdy se taková řada označuje jako řada bez trendu)
  T_t = β₀ pro t=1,2,…,n

• lineární trend
  T_t = β₀+ β₁ t pro t=1,2,…,n

• kvadratický trend
  T_t = β₀+ β₁ t+ β₂ t² pro t=1,2,…,n

• exponenciální trend
  T_t = β₀ β₁ ^t kde β₁ >0, pro t=1,2,…,n

• modifikovaný exponenciální trend
  T_t = β₀ + β₁β₂ ^t kde β₂ >0, pro t=1,2,…,n

• logistický trend
  T_t = γ/(1+β₀ β₁ ^t) kde β₂ >0, pro t=1,2,…,n

• Gompertzova křivka
  ln(T_t) = γ+β₀ β₁ ^t kde β₂ >0, pro t=1,2,…,n

Pro odhad parametrů trendové funkce se používá metoda nejmenších čtverců známá z regresní analýzy (jedná se vlastně o regresní model. kde ve roli vysvětlující proměnné vystupuje čas). To se týká pochopitelně pouze funkcí lineárních z hlediska parametrů (či takových, které lze na tento typ převést vhodnou transformací, jako třeba exponenciela). V ostatních případech se používají složitější metody odhadu. Ty jsou však většinou stejně podmíněné statistickým softwarem.

Poslední dvě uvedené křivky (logistika, Gompertz) patří mezi tzv. S-křivky a používají se často v ekonomické teorii pro modelování poptávky.