Exponenciální vyrovnávání

 

Předně je třeba uvést, že název exponenciální vyrovnávání nemá nic společného s exponencielou jako trendovou funkcí. Při této metodě je vyrovnání hodnoty v časovém bodě t založeno na všech dostupných minulých hodnotách. Pro odhad parametrů se používá vážená metoda nejmenších čtverců, kdy váhy exponenciálně klesají směrem do minulosti. Odtud pochází název metody. Minimalizuje se tedy výraz

kde α je tzv. vyrovnávací konstanta, pro kterou platí

0 < α < 1

Je tedy zřejmé, že při vyrovnání hodnoty časové řady v bodě t sehrává největší roli pozorování v tomto bodě, o něco menší roli sehrává minulé pozorování (má menší váhu) a směrem do minulosti vliv pozorování na hodnotu v bodě t postupně slábne. Pokud bude hodnota  α blízká jedničce, bude vliv minulých pozorování slábnout pouze pozvolna. Naproti tomu, pokud bude α velmi malé (blíží se k nule), bude vliv minulých pozorování slábnout velmi rychle. Je tedy zřejmé, že volba vyrovnávací konstanty bude sehrávat v této metodě klíčovou roli.

Opět budeme předpokládat, že časová řada je očištěna od sezónní a cyklické složky a má tedy tvar

Y_t = T_t + ε_t

 

Z hlediska použité vyrovnávací křivky můžeme exponenciální vyrovnávání rozčlenit na:

• jednoduché exponenciální vyrovnávání
• dvojité exponenciální vyrovnávání
• trojité exponenciální vyrovnávání

 

 

 

Jednoduché exponenciální vyrovnávání

 

Při tomto typu exponenciálního vyrovnávání předpokládáme, že trend lze v krátkých úsecích řady považovat za konstantní, tedy že platí

T_t = β₀

Odhadujeme tedy parametr β₀. Jeho odhad se však bude v různých časových lišit. Při odhadu v časovém bodě t budeme vycházet z minimalizace výrazu

kde α je tzv. vyrovnávací konstanta, pro kterou platí 0 < α < 1.

Přestože horní mez v sumě uvedeného vzorce by mohla naznačovat, že máme k dispozici nekonečně mnoho hodnot časové řady směrem do minulosti od bodu t, v praxi pochopitelně pracujeme pouze s konečným počtem pozorování. Z teoretických důvodů však můžeme vycházet z uvedeného vzorce (tento fakt značně zjednoduší některá odvození). Konkrétní výpočty a odvození pro odhady nebudeme uvádět a odkážeme čtenáře na literaturu, věnující se konkrétně této problematice - např. T.Cipra: Analýza časových řad s aplikacemi v ekonomii, Praha  1986. Navíc je dnes celá procedura odhadu standardně součástí statistických programů, které jsou navíc schopné vyhledat optimální hodnotu vyrovnávací konstanty α.

 

 

Dvojité exponenciální vyrovnávání

 

Při tomto typu exponenciálního vyrovnávání předpokládáme, že trend lze v krátkých úsecích řady vyrovnat přímkou. Tedy lze psát

T_t = β₀+ β₁ t

Odhadujeme tedy parametry β₀ a β₁. Jejich odhady označíme b₀(t) a b₁(t). Při odhadu v časovém bodě t budeme vycházet z minimalizace výrazu

kde α je opět  vyrovnávací konstanta, pro kterou platí

0 < α < 1

 

 

 

Trojité exponenciální vyrovnávání

 

Při tomto typu exponenciálního vyrovnávání předpokládáme, že trend lze v krátkých úsecích řady vyrovnat parabolou. Tedy lze psát

T_t = β₀+ β₁ t+ β₂ t²

Postup při odhadu je analogický jako v předchozích případech.