Testování hypotéz o četnostech kategorií

Testy pro jednotlivé kategorie

Pro i-tou kategorii testujeme hypotézu H0: pi = pi,0 vůči oboustranné alternativní hypotéze H1: pi ą pi,0, příp. vůči jednostranné alternativní hypotéze (levostranné či pravostranné).

Jestliže npi,0(1- pi,0) > 9, pak můžeme použít testové kritérium U:

. Tato náhodná veličina má za předpokladu, že platí hypotéza H0, normované normální rozdělení, tj. U ~ N(0;1). Vypočtenou hodnotu uvedeného testového kritéria U proto porovnáváme s kvantily u1-a/2, resp. ua či u1-a (v případě jednostranných alternativních hypotéz).

 

Pro libovolné n a pi,0 můžeme při popisovaném testu využít kvantily z F rozdělení. Spočítáme a a zjistíme kvantily Fh a Fd:

Fh = F1-a/2(2(ni+1),2(n-ni)), Fd = F1-a/2(2(n-ni+1),2ni). Je-li y ł Fh nebo w ł Fd, pak H0 zamítáme; jsou-li y < Fh a současně w < Fd, potom H0 nezamítáme (platí pro případ oboustranné alternativní hypotézy).

 

Testy porovnávající četnosti dvou kategorií

Testujeme hypotézu H0: pi = pj, tj. pi - pj = 0, vůči oboustranné alternativní hypotéze H1: pi ą pj, příp. vůči jednostranné alternativní hypotéze (levostranné či pravostranné).

 

Jestliže ni + nj ł 30, pak můžeme použít testové kritérium chí-kvadrát:

. Tato náhodná veličina má za předpokladu, že platí hypotéza H0, chí-kvadrát rozdělení s jedním stupněm volnosti, tj. C2 ~ C2(1). Vypočtenou hodnotu uvedeného testového kritéria C2 proto porovnáváme s kvantily C21-a/2, resp. C2a či C21-a (v případě jednostranných alternativních hypotéz).

Pokud H0 nezamítneme, můžeme odhadnout společnou hodnotu p. Bodovým odhadem je hodnota , intervalový odhad je dán mezemi ,kde sp je směrodatná chyba odhadu, která se počítá podle vzorce .
Jestliže, můžeme odhadnout rozdíl d = pi - pj. Bodovým odhadem je hodnota d = pi - pj, intervalový odhad je dán mezemi ,kde sd je směrodatná chyba odhadu, která se počítá podle vzorce .

 

Pokud ni + nj Ł 30, počítáme hodnotu , kde .

Jestliže P Ł a, pak H0 zamítáme, jinak (P > a) H0 nezamítáme.

Pro ni + nj Ł 50 můžeme zvolit postup, kdy hodnotu R = min (ni,nj) porovnáváme s kritickou hodnotou , což je kritická hodnota znaménkového testu pro . Jestliže R Ł , pak H0 zamítáme, pokud R > , H0 nezamítáme.

Speciálním případem je binomický test, kdy testujeme hypotézu H0: p1=p1,0 a p2=p2,0 , kde p2,0=1 - p1,0. Jestliže p1,0 = 0,5, pak vlastně můžeme nulovou hypotézu zapsat jako H0: p1= p2 a alternativní jako H1: p1 ą p2. Pro p1,0 ą 0,5 provádí SPSS test pro H0: p1 = p1,0 a H1: p1 > p1,0. Při testování používáme aproximaci na normované normální rozdělení.

 

Jako výstup z příslušné procedury SPSS získáme absolutní a relativní četnosti pro obě skupiny a celý soubor, zadanou hodnotu p1,0 a minimální hladinu významnosti, od které zamítáme hypotézu H0.

 

V případě prosté preferenční proměnné, která má 3 kategorie, můžeme testovat, zda je rozložení symetrické, tj. testujeme hypotézu H0: p1 = p3, vůči oboustranné alternativní hypotéze H1: p1 ą p3, příp. vůči jednostranné alternativní hypotéze (levostranné či pravostranné). Jestliže zamítneme H0, pak můžeme zjišťovat stupeň asymetrie, a to jedním z následujících způsobů:

,

(stupeň změny vzhledem k celému souboru jednotek),

(podíl třetí kategorie).

 

Testy porovnávající četnosti více než dvou kategorií

Testujeme hypotézu H0: p1 = p2 = ... = pL, kde L < K (K je počet kategorií) vůči alternativní hypotéze, že existuje takové pi, pro které platí, že pi ą pj. Označme si . Pro můžeme použít testové kritérium chí-kvadrát: . Tato náhodná veličina má za předpokladu, že platí hypotéza H0, chí-kvadrát rozdělení s (L-1) stupněm volnosti, tj. C2 ~ C2(L-1). Vypočtenou hodnotu uvedeného testového kritéria C2 proto porovnáváme s kvantilem C21-a.