Tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o kterém lze jednoznačně (po uskutečnění pokusu) rozhodnout, zda je pravdivé či nepravdivé, budeme nazývat náhodným jevem. Jako příklad náhodného jevu můžeme uvést: počet telefonních impulsů na ústřednu za jednu hodinu bude roven 60, při kontrolním výlovu z rybníka uvízne v síti alespoň 50 kusů ryb, při příchodu na zastávku bude cestující čekat na tramvaj déle než 10 minut atd.
Výsledek náhodného pokusu nelze s jistotou předpovědět. Některé výsledky však nastávají častěji, některé méně často, některé velmi zřídka. Při velkých sériích opakování však i tyto náhodné pokusy (resp. jejich výsledky) vykazují určité zákonitosti a pravidelnosti. Cílem teorie pravděpodobnosti je právě studium těchto zákonitostí, jejich popsání a vytvoření pravidel pro určení měr početnosti výskytů těchto jevů. S těmito zákonitostmi se běžně čtenář setkává, aniž by si to mnohdy uvědomoval. Např. každý ví či intuitivně tuší, že při hodu mincí má stejnou šanci rub i líc a že tudíž při velkém počtu pokusů budou nejspíš padat stejně často. Z matrik či statistických ročenek lze snadno zjistit, že podíl chlapců narozených v jednotlivých letech vzhledem k celkovému počtu narozených dětí se pohybuje okolo 51,5%. Přestože v jednotlivých případech nelze pohlaví dítěte předpovědět, můžeme poměrně přesně odhadnout, kolik se narodí chlapců z celkového počtu 10 000 narozených dětí.
Z těchto příkladů vyplývá, že relativní četnosti některých jevů se s rostoucím počtem opakování ustalují na určitých číslech. Tento úkaz budeme nazývat stabilitou relativních četností. Tato stabilita relativních četností je empirickým základem teorie pravděpodobnosti. Relativní četností přitom rozumíme podíl n(A)/n , kde n je celkový počet provedených pokusů a n(A) je počet těch realizací pokusu, ve kterých jev A nastal.
Náhodným jevem tedy je jev, který při opakovaném pokusu za stejných podmínek vykazuje stabilitu relativních četností. Jevy budeme značit velkými písmeny ze začátku abecedy (A,B,C,...).
Jev jistý
Jevem jistým budeme nazývat jev, který nastane nutně při každé
realizaci náhodného pokusu. Budeme jej značit S.
Jevem jistým je např. při házení kostkou jev padne jedno z čísel 1,2,3,4,5,6 (samozřejmě pokud házíme běžnou hrací kostkou s obvyklým značením stran).
Jev nemožný
Nemožným jevem budeme nazývat jev, který nemůže v daném pokusu
nikdy nastat. Budeme jej značit Q.
Nemožným jevem je např. při házení kostkou padne číslo dělitelné devíti nebo padne číslo sedm.
Elementární jev a složený jev
Jev A budeme nazývat elementární jev, jestliže neexistují jevy E
a F různé od A takové, že A = E U F, tj. jestliže jev A nelze vyjádřit
jako sjednocení dvou jiných jevů různých od A (sjednocení dvou jevů bude
ještě dále vysvětleno). Elementární jev je tedy "nejjednodušší"
výsledek náhodného pokusu, který už nelze dále rozložit.
Elementárním jevem je při házení kostkou jev padne číslo 3. Naproti tomu jev padne sudé číslo je tzv. jevem složeným. Tento jev se totiž skládá z elementárních jevů padne číslo 2, padne číslo 4 a padne číslo 6.
Prostor elementárních jevů
Prostorem elementárních jevů budeme rozumět množinu všech elementárních
jevů , které mohou nastat jako výsledek daného náhodného pokusu. Libovolný
náhodný jev je pak podmnožinou prostoru elementárních jevů. Prostor
elementárních jevů budeme značit písmenem U.
1. Průnik jevů
Dva jevy se částečně překrývají. Mají tedy nějaký neprázdný průnik.
To znamená, že některé výsledky jsou společné pro oba jevy. Část, ve
které se dva jevy překrývají, se nazývá průnik jevů
A Ç B
(čteme A průnik B nebo A a B - nastává totiž jak jev A tak i jev B současně).
Zůstaneme u házení kostkou: jev A nechť značí - padne číslo 2 nebo 3 nebo 4, a jev B - padne sudé číslo. Je zřejmé, že oba jevy mají dva výsledky společné - padne číslo 2 nebo 4.
Stejně jako v předchozím případě ať jev C značí počet podniků,
které vykáží v letošním roce zisk menší než 100 000 Kč, jev D je počet
podniků, které vykáží zisk větší než 50 000 a menší než 200 000 Kč.
Je vidět, že podniky se ziskem v rozmezí 50000 Kč -100000 Kč "patří
do jevu C i D".
2. Sjednocení jevů
O sjednocení jevů A a B hovoříme tehdy, jestliže nastává jev A
nebo jev B. Slůvko "nebo" znamená, že může nastat pouze jeden z těchto
jevů, ale mohou nastat i oba jevy zároveň. Jinými slovy, nastane alespoň
jeden z těchto jevů. Sjednocení jevů zapisujeme
A Č B
Sjednocením jevů A a B může být následující příklad: jev A - zaměstnanci v lesnictví, jejichž plat je menší než 3000 Kč, jev B - zaměstnanci v lesnictví, jejichž plat je větší než 2750 Kč. Sjednocením těchto dvou jevů je vlastně jev jistý (všichni zaměstnanci v lesnictví).
3. Disjunktní jevy
Dva jevy nemají nemají spolu žádný možný společný výsledek. Takovéto
jevy budeme nazývat jevy disjunktní (někdy též neslučitelné).
Disjunkci jevů A a B budeme zapisovat A
A Ç B = Ć
Např. při házení kostkou definujme jev A - padne sudé číslo, a jev B - padne liché číslo. Tyto jevy opravdu nemají žádný možný společný výsledek. Jestliže nastane jev A, nemůže zároveň nastat i jev B a naopak.
Další možný příklad: jev C - náhodně vybraný student VŠE je mladší než devatenáct let, jev D - náhodně vybraný student VŠE je starší než devatenáct let nebo je mu přesně devatenáct. Je opět zřejmé, že tyto dva jevy nemohou nastat současně.
Předpokládejme např., že zaměstnanci VŠE berou plat v rozmezí 2000 -
10000 Kč měsíčně. Dále definujme jev A - zaměstnanci beroucí mzdu 25000 Kč
měsíčně. Takovýto jev je prázdný, neboť žádný zaměstnanec
nebere mzdu 25000 Kč měsíčně.
4. Rovnost jevů
Dva jevy A a B jsou si rovny, jestliže A je částí B a zároveň B je
částí A. Rovnost jevů zapisujeme A = B. Jinými slovy, nastoupení jevu A má
za následek nastoupení jevu B a naopak nastoupení jevu B má za následek
nastoupení jevu A.
Příkladem dvou totožných jevů mohou být následující jevy: A - při
hodu kostkou padne sudé číslo, jev B - při hodu kostkou padne číslo dělitelné
dvěma.
5. Jeden jev je zcela obsažen v druhém jevu
To znamená, že všechny možné
výsledky jednoho jevu jsou i možnými výsledky jevu druhého. Říkáme
potom, že jev A je podjevem jevu B (jev A je částí jevu B) a
značíme
A Ě B
Příklad takových jevů může být následující: při hodu kostkou ať značí jev A - padne číslo 2, jev B - padne sudé číslo. Jev A je pak podjevem jevu B.
Dále např. ať jev C je počet podniků, které vykáží v letošním roce zisk menší než 100 000 Kč, jev D je počet podniků, které vykáží zisk menší než 200 000 Kč. Podniky "zařazené" do C jsou samozřejmě "obsaženy" i v D.
6. Opačný jev
Opačným jevem (doplňkovým) k jevu A budeme rozumět jev, který
nastane, když nenastane jev A. Jev opačný budeme značit
A
Opačným jevem k jevu A - náhodně vybraný student VŠE je studentem 1. ročníku,
je jev A náhodně vybraný student VŠE není studentem 1. ročníku, což je totéž
jako náhodně vybraný student VŠE je studentem 2. nebo vyššího ročníku.
7. Rozdíl jevů
Rozdílem jevů A a B budeme chápat jev, který nastává právě tehdy,
nastane-li jev A a nenastane-li jev B.
Zůstaneme-li u házení kostkou, nabízí se následující příklad: jev A - padne číslo větší než dvě, jev B - padne sudé číslo. Rozdíl jevů A a B je pak jev A - B - padne číslo tři nebo pět.
Pro operace s jevy, jak již bylo řečeno, platí algebraické zákony a rovnosti stejné jako pro množiny. To velmi usnadňuje práci s náhodnými jevy.