Klasický lineární model

Klasickým lineárním modelem rozumíme model ve tvaru (maticový zápis)

kde

Y je vektor n hodnot vysvětlované proměnné

X je matice hodnot vysvětlujících proměnných o rozměrech n´(k+1)

β je vektor p neznámých parametrů (p=k+1)

ε je vektor n hodnot náhodné složky

Podmínky klasického lineárního modelu

1. E(ε_i) = 0 pro každé i=1,2,…,n

Střední hodnota náhodné složky je nulová. Tato podmínka znamená, že náhodná složka nepůsobí systematickým způsobem na hodnoty vysvětlované proměnné Y.

2. E(ε_i) = σ² pro každé i=1,2,…,n

Rozptyl náhodné složky je konstantní (hovoříme o tzv. homoskedasticitě). Tato podmínka vyjadřuje, že variabilita náhodné složky nezávisí na hodnotách vysvětlujících proměnných a tudíž i podmíněná variabilita vysvětlované proměnné nezávisí na hodnotách vysvětlujících proměnných a je rovna neznámé kladné konstantě .

3. Cov (ε_i ε_j)=0 pro každé i ≠ j=1,2,…,n

Kovariance náhodné složky je nulová. Tedy hodnoty náhodné složky jsou nekorelované a z toho vyplývá i nekorelovanost různých dvojic pozorování vysvětlované proměnné Y.

4. X je nestochastická (nenáhodná) matice. Znamená to tedy, že vysvětlující proměnné jsou nenáhodné.
5. Matice X má plnou hodnost, tedy h(X)=k+1 ≤ n (n je počet pozorování).

Tato podmínka vyžaduje, aby mezi vysvětlujícími proměnnými nebyla funkční lineární závislost, tedy v matici X nesmí existovat lineárně závislé sloupce. Počet vysvětlujících proměnných nesmí být pochopitelně větší než počet pozorování a v praxi by být měl počet pozorování výrazně větší než počet vysvětlujících proměnných.

6. ε_i mají normální rozdělení pro každé i=1,2,…,n.

Z této podmínky vyplývá normalita i pro vysvětlovanou proměnnou Y. Náhodný vektor Y má potom n-rozměrné normální rozdělení s vektorem středních hodnot Xβ a kovarianční maticí .

7. Parametry β_j, j=1,2,…,k mohou nabývat libovolných hodnot. Na vektor β tedy nejsou kladeny žádné omezující podmínky.